Question

已知函数f（x）的导函数f'（x）是二次函数，且f'（x）=0的两根为±1．若f（x）的极大值与极小值之和为0，f（-2）=2．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数在开区间（m-9，9-m）上存在最大值与最小值，求实数m的取值范围．
（3）设函数f（x）=x•g（x），正实数a，b，c满足ag（b）=bg（c）=cg（a）＞0，证明：a=b=c．

Answer 1

（1）解：设f'（x）=a（x+1）（x-1），则可设，其中c为常数．
因为f（x）的极大值与极小值之和为0，
所以f（-1）+f（1）=0，即c=0，
由f（-2）=2得a=-3，
所以f（x）=3x-x³；（5分）
（2）解：由（1）得f（x）=3x-x³，且f'（x）=-3（x+1）（x-1）
列表：

x	（-2，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，2）
y'	-	0	+	0	-
y	↘	极小值-2	↗	极大值2	↘

由题意得，三次函数在开区间上存在的最大值与最小值必为极值（如图），
又f（-2）=2，故f（2）=-2，所以1＜9-m≤2，且-2≤m-9＜-1，
解得7≤m＜8；（10分）
（3）证明：题设等价与a（3-b²）=b（3-c²）=c（3-a²），且a，b，c＞0，
所以a，b，c均小于．
假设在a，b，c中有两个不等，不妨设a≠b，则a＞b或a＜b．
若a＞b，则由a（3-b²）=b（3-c²）得3-b²＜3-c²即b＞c，
又由b（3-c²）=c（3-a²）得c＞a．
于是a＞b＞c＞a，出现矛盾．
同理，若a＜b，也必出现出矛盾．
故假设不成立，所以a=b=c．（15分）
分析：（1）设f'（x）=a（x+1）（x-1），则可设，其中c为常数，利用f（x）的极大值与极小值之和为0，可求c的值，利用f（-2）=2，可求a的值，从而可得函数f（x）的解析式；
（2）确定三次函数在开区间上存在的最大值与最小值必为极值，从而可建立不等式，即可求得实数m的取值范围；
（3）先判断a，b，c均小于，再利用反证法证明即可．
点评：本题主要考查利用导数研究三次函数的图象与性质等基础知识，考查灵活运用数形结合、化归与转化思想进行运算求解、推理论证的综合能力．