Question

8．已知$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$，P₁，P₂，…，P_n-1（|n∈N，n＞1）是线段AB的n等分点，则$\overrightarrow{O{P}_{1}}+\overrightarrow{O{P}_{2}}+…+\overrightarrow{O{P}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{2}$（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）．

Answer 1

分析 用向量加法的法则和几何意义知$\overrightarrow{O{P}_{k}}=\overrightarrow{OA}-\frac{k}{n}（\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}）$，由此代入所求式子化简即得．

解答 解：由已知得到$\overrightarrow{O{P}_{1}}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{{P}_{1}A}=\overrightarrow{OA}-\frac{1}{n}（\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}）$，
$\overrightarrow{O{P}_{2}}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{{P}_{2}A}=\overrightarrow{OA}-\frac{2}{n}（\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}）$，
…
$\overrightarrow{O{P}_{n-1}}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{{P}_{n-1}A}$=$\overrightarrow{OA}-\frac{n-1}{n}（\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}）$
$\overrightarrow{O{P}_{1}}+\overrightarrow{O{P}_{2}}+…+\overrightarrow{O{P}_{n-1}}$=（n-1）$\overrightarrow{OA}$-$\frac{n-1}{2}（\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}）$=$\frac{n-1}{2}（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）$=$\frac{n-1}{2}（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）$；
故答案为：$\frac{n-1}{2}$．

点评 本题考查向量加法、减法的运算法则和几何意义，并且运用等差数列求和公式进行计算化简以及进行合情推理