Question

（2012•昌平区二模）已知向量

a

=（cosθ，sinθ），

b

=（

3

，-1），-

π

2

≤θ≤

π

2

．
（Ⅰ）当

a

⊥

b

时，求θ的值；
（Ⅱ）求|

a

+

b

|的取值范围．

Answer 1

分析：（I）根据垂直的向量数量积为0，列出关于θ的方程，结合同角三角函数的关系，得tanθ=

3

，结合θ的范围可得θ的值；
（II）根据向量模的公式，结合题中数据，化简整理得|

a

+

b

|=

5-4sin(θ- π 3 )

，再结合θ的范围，利用正弦函数的图象与性质，可得|

a

+

b

|的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵

a

⊥

b

，
∴

a

•

b

=

3

cosθ-sinθ=0…（2分）
整理，得tanθ=

3

又∵-

π

2

≤θ≤

π

2

，∴θ=

π

3

…（6分）
（Ⅱ）∵|

a

|=

cos2θ+sin2θ

=1，|

b

|=

3+1

=2，

a

•

b

=

3

cosθ-sinθ
∴|

a

+

b

|=

| a |2+2 a • b +| b |2

=

1+2( 3 cosθ-sinθ)+4

=

5-4sin(θ- π 3 )

…（9分）
∵-

π

2

≤θ≤

π

2

∴-

5π

6

≤θ-

π

3

≤

π

6

…（11分）
∴-1≤sin(θ-

π

3

)≤

1

2

，可得-2≤-4sin(θ-

π

3

)≤4
∴

3

≤|a+b|≤3，即|

a

+

b

|的取值范围是[

3

，3]…（13分）

点评：本题给出向量坐标为含有θ的三角函数的形式，求向量的模的取值范围，考查了向量数量积的坐标运算，同角三角函数的基本关系和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．