Question

11．已知数列{b_n}的通项公式为b_n=$\frac{1}{4}$（$\frac{2}{3}$）^n-1，n∈N^*，．求证：数列{b_n}中的任意三项不可能成等差数列．

Answer 1

分析 根据等差数列的定义，利用反证法进行证明即可．

解答 解：假设数列{b_n}存在三项b_r、b_s、b_t（r＜s＜t）按某种顺序成等差数列，
由于数列{b_n}是首项为$\frac{1}{4}$，公比为$\frac{2}{3}$的等比数列，
是有b_t＞b_s＞b_r，则只可能有2b_s=b_r+b_t成立．两边同乘3^t-12^1-r，
化简得3^t-r+2^t-r=2•2^s-r3^t-s，
由于r＜s＜t，所以上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾．
故数列{b_n}中任意三项不可能成等差数列．

点评 本题主要考查反证法的应用，根据等差数列的定义是解决本题的关键．