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2.已知函数f(x)=1-$\frac{2}{1{0}^{x}+1}$.
(1)判断函数f(x)的奇偶性;
(2)求f(x)的值域;
(3)用定义证明f(x)在(-∞,+∞)上的单调性.

分析 (1)利用奇函数的定义,判断函数f(x)的奇偶性;
(2)利用10x+1>1,0<$\frac{2}{1{0}^{x}+1}$<2,即可求f(x)的值域;
(3)用定义证明f(x)在(-∞,+∞)上的单调性即可.

解答 (1)解:f(x)=$\frac{1{0}^{x}-1}{1{0}^{x}+1}$,
∴f(-x)=$\frac{1{0}^{-x}-1}{1{0}^{-x}+1}$=-f(x),
∴f(x)是奇函数;
(2)解:∵10x+1>1,∴0<$\frac{2}{1{0}^{x}+1}$<2,
∴-1<1-$\frac{2}{1{0}^{x}+1}$<1,
∴f(x)的值域是(-1,1);
(3)证明:任取x1、x2∈(-∞,+∞),且x1<x2
则f(x1)-f(x2)=$\frac{2(1{0}^{{x}_{1}}-1{0}^{{x}_{2}})}{(1{0}^{{x}_{2}}+1)(1{0}^{{x}_{1}}+1)}$<0,
∴f(x1)<f(x2);
∴f(x)=1-$\frac{2}{1{0}^{x}+1}$区间(-∞,+∞)上是增函数.

点评 本题考查函数的单调性、奇偶性,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

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