Question

2．已知函数f（x）=1-$\frac{2}{1{0}^{x}+1}$．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）求f（x）的值域；
（3）用定义证明f（x）在（-∞，+∞）上的单调性．

Answer 1

分析 （1）利用奇函数的定义，判断函数f（x）的奇偶性；
（2）利用10^x+1＞1，0＜$\frac{2}{1{0}^{x}+1}$＜2，即可求f（x）的值域；
（3）用定义证明f（x）在（-∞，+∞）上的单调性即可．

解答 （1）解：f（x）=$\frac{1{0}^{x}-1}{1{0}^{x}+1}$，
∴f（-x）=$\frac{1{0}^{-x}-1}{1{0}^{-x}+1}$=-f（x），
∴f（x）是奇函数；
（2）解：∵10^x+1＞1，∴0＜$\frac{2}{1{0}^{x}+1}$＜2，
∴-1＜1-$\frac{2}{1{0}^{x}+1}$＜1，
∴f（x）的值域是（-1，1）；
（3）证明：任取x₁、x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2（1{0}^{{x}_{1}}-1{0}^{{x}_{2}}）}{（1{0}^{{x}_{2}}+1）（1{0}^{{x}_{1}}+1）}$＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）=1-$\frac{2}{1{0}^{x}+1}$区间（-∞，+∞）上是增函数．

点评 本题考查函数的单调性、奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．