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(01全国卷理) (12分)

    从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业.根据规划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上年减少.本年度当地旅游业收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加

    (Ⅰ)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元,旅游业总收入为bn万元.写出anbn的表达式;

(Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?

解析::(Ⅰ)第1年投入为800万元,第2年投入为800×(1-)万元,……,第n年投入为800×(1-n-1万元.

所以,n年内的总投入为

an = 800+800×(1-)+…+800×(1-n-1

                                                                 

                                                                  = 4000×[1-()n];                                ……3分

第1年旅游业收入为400万元,第2年旅游业收入为400×(1+)万元,……,第n年旅游业收入为400×(1+n-1万元.

所以,n年内的旅游业总收入为

bn = 400+400×(1+)+…+400×(1+n-1

                                                                 

                                                                  = 1600×[ ()n-1].                               ……6分

(Ⅱ)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入,由此

bnan>0,

即 1600×[(n -1]-4000×[1-(n]>0.

化简得 5×(n+2×(n -7>0,                            ……9分

n,代入上式得

5x2-7x+2>0,

解此不等式,得

x>1(舍去).

即                           (n

由此得                         n≥5.

答:至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入.                   ……12分

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