Question

17．如图，矩形纸片ABCD的周长为l，面积为S．
（1）当S=4时，求l的最小值；
（2）当l=4时，求S的最大值；
（3）在（2）的结论下，在纸片的四角截去四个边长为t的小正方形，然后做成一个无盖的纸盒，求纸盒的体积V（t）的最大值．

Answer 1

分析 设矩形纸片ABCD的长为a、宽为b．（1）通过S=ab=4，利用基本不等式即得结论；（2）通过a+b=2，利用基本不等式S=${\sqrt{ab}}^{2}$≤$（\frac{a+b}{2}）^{2}$计算即得结论；（3）通过体积公式可知V（t）=4t³-4t²+t（0＜t＜$\frac{1}{2}$），通过求导可知V（t）的单调区间，进而可得结论．

解答 解：设矩形纸片ABCD的长为a、宽为b．
（1）∵S=ab=4，
∴l=2（a+b）≥2•2$\sqrt{ab}$=$2•2\sqrt{4}$=8，
当且仅当a=b=2时不等式取等号，
∴l的最小值为8；
（2）∵l=2（a+b）=4，
∴a+b=2，
∴S=ab=${\sqrt{ab}}^{2}$≤$（\frac{a+b}{2}）^{2}$=1，
当且仅当a=b=1时不等式取等号，
∴S的最大值为1；
（3）由题易知正方形纸片的边长为1，0＜t＜$\frac{1}{2}$．
∴V（t）=（1-2t）•（1-2t）•t=4t³-4t²+t，
∴V′（t）=12t²-8t+1=（2t-1）（6t-1），
显然V（t）在（0，$\frac{1}{6}$）上单调递增，在（$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{2}$）上单调递减，
∴当t=$\frac{1}{6}$时V（t）有最大值v（$\frac{1}{6}$）=4×$\frac{1}{{6}^{3}}$-4×$\frac{1}{{6}^{2}}$+$\frac{1}{6}$=$\frac{8}{27}$．

点评 本题考查函数的最值，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．