Question

如图，已知A₁B₁C₁-ABC是正三棱柱，D是AC中点．
（1）证明AB₁∥平面DBC₁；
（2）假设AB₁⊥BC₁，BC=2，求线段AB₁在侧面B₁BCC₁上的射影长．

Answer 1

分析：（1）由A₁B₁C₁-ABC是正三棱柱，可知四边形B₁BCC₁是矩形，连接B₁C，交BC₁于E，则B₁E=EC．连接DE，由三角形中位线定理得到DE∥AB₁，再由线面平行的判定定理得到结论．
（2）先作AF⊥BC，垂足为F．由面ABC⊥面B₁BCC₁，可知AF⊥B₁BCC₁平面B₁F，由身影定义，可得B₁F是AB₁在平面B₁BCC₁内的射影．然后在矩形B₁BCC₁中，由△B₁BF∽△BCC₁求解．

解答：（1）证明：∵A₁B₁C₁-ABC是正三棱柱，
∴四边形B₁BCC₁是矩形．连接B₁C，交BC₁于E，则B₁E=EC．连接DE．
在△AB₁C中，∵AD=DC，∴DE∥AB₁，又AB₁?平面DBC₁．DE?平面DBC₁
∴AB₁∥DBC₁．（2）解：作AF⊥BC，垂足为F．
因为面ABC⊥面B₁BCC₁，所以AF⊥B₁BCC₁平面B₁F．
连接B₁F，则B₁F是AB₁在平面B₁BCC₁内的射影．
∵BC₁⊥AB₁，∴BC₁⊥B₁F．
∵四边形B₁BCC₁是矩形，∴∠B₁BF=∠BCC₁=90°；
∠FB₁B=∠C₁BC，∴△B₁BF∽△BCC₁．
∴

B1B

BC

=

BF

C1C

=

BF

B1B

又F为正三角形ABC的BC边中点，因而B₁B²=BF•BC=1×2=2，
于是B₁F²=B₁B²+BF²=3，∴B₁F=

3

．
即线段AB₁在平面B₁BCC₁内射影长为

3

点评：本小题考查空间线面关系，正棱柱的性质，空间想象能力和逻辑推理能力．属中档题．