Question

等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知(a2-1)3+2011(a2-1)=sin

2011π

3

，(a2010-1)3+2011(a2010-1)=cos

2011π

6

，则S2011等于（　　）

• A、4022
• B、0
• C、2011
• D、2011

  3

Answer 1

分析：将两个等式相加，利用立方和公式将得到的等式因式分解，提取公因式得到a₂+a₂₀₁₀的值，利用等差数列的性质及数列的前n项和公式求出n项和．

解答：解：∵(a2-1)3+2011(a2-1)=sin

2011π

3

①
（a₂₀₁₀-1）³+2011(a2010-1)=cos

2011π

6

②
①+②得
（a₂-1）³+2011（a₂-1）=1
（a₂₀₁₀-1）³+2011（a₂₀₁₀-1）=-1
二式相加，得
（a₂-1+a₂₀₁₀-1）[（a₂-1）²-（a₂-1）（a₂₀₁₀-1）+（a₂₀₁₀-1）²]+2011（（a₂-1+a₂₀₁₀-1）=0
（a₂-1+a₂₀₁₀-1）[（a₂-1）²-（a₂-1）（a₂₀₁₀-1）+（a₂₀₁₀-1）²+2011]=0
∴a₂-1+a₂₀₁₀-1=0
a₂+a₂₀₁₀=2
∴S2011=

(a1+a2011)× 2011

2

=

(a2+a2010)× 2011

2

=2011
故选C．

点评：求数列的前n项和时，先判断出数列的通项，利用通项的特点选择合适的求和公式，求出前n项和．