Question

（2012•天津模拟）已知椭圆的中心是坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）在线段OF上是否存在点M（m，0），使得|MP|=|MQ|？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先确定椭圆的短半轴长，再根据两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点，即可求出椭圆的方程；（Ⅱ）分类讨论：（1）若l与x轴重合时，显然M与原点重合，m=0；（2）若直线l的斜率k≠0，则可设l：y=k（x-1），与椭圆的方程联立，确定PQ的中点横坐标，进而可得PQ的中点的坐标，根据|MP|=|MQ|，即可求得m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）因为椭圆的短轴长：2b=2⇒b=1，
又因为两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点，所以：b=c⇒a²=b²+c²=2；
故椭圆的方程为：

x2

2

+y2=1…（4分）
（Ⅱ）（1）若l与x轴重合时，显然M与原点重合，m=0；
（2）若直线l的斜率k≠0，则可设l：y=k（x-1），设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）则：

y=k(x-1) x2+2y2-2=0

⇒x2+2k2(x2-2x+1)-2=0
所以化简得：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0；x1+x2=

4k2

1+2k2

⇒PQ的中点横坐标为：

2k2

1+2k2

，
代入l：y=k（x-1）可得：PQ的中点为N(

2k2

1+2k2

，

-k

1+2k2

)，
由于|MP|=|MQ|得到m=

k2

2k2+1

所以：m=

k2

1+2k2

=

1

1 k2 +2

∈(0，

1

2

)综合（1）（2）得到：m∈[0，

1

2

)…（14分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，充分利用|MP|=|MQ|是解题的关键．