Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x-y-2=0，抛物线C：y2=2px(p＞0).

（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；
（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.
①求证：线段PQ的中点坐标为（2-p ， -p）；
②求p的取值范围.

Answer 1

【答案】
（1）

解： ， 与 轴的交点坐标为

即抛物线的焦点为 ，

（2）

解：① 设点 ，

则： ，即 ，

又 关于直线 对称，

即 ，

又 中点一定在直线 上

线段 上的中点坐标为 ；

② 中点坐标为

即

，即关于 有两个不等根

， ，

【解析】（1）求出抛物线的焦点坐标，然后求解抛物线方程．（2）：①设点P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），通过抛物线方程，求解kPQ ， 通过P，Q关于直线l对称，点的kPQ=﹣1，推出 ，PQ的中点在直线l上，推出 =2﹣p，即可证明线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；②利用线段PQ中点坐标（2﹣p，﹣p）．推出 ，得到关于y2+2py+4p2﹣4p=0，有两个不相等的实数根，列出不等式即可求出p的范围．