Question

如图，已知四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁的侧棱A₁A垂直于底面ABCD．底面ABCD是边长为2的正方形，四边形A₁B₁C₁D₁是边长为1的正方形，DD₁=2．
（I）求证：平面A₁ACC₁⊥平面B₁BDD₁；
（II）求侧棱DD₁与底面ABCD所成的角；
（III）求四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵AA₁⊥平面 ABCD，∴AA₁⊥BD．
∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD．
∵AA₁与AC是平面A₁ACC₁内的两条相交直线，
∴BD⊥平面A₁ACC₁
∵BD?平面B₁BDD₁，
∴平面A₁ACC₁⊥平面B₁BDD₁． …（4分）
（Ⅱ）解：过D₁作D₁H⊥AD于H，则D₁H∥A₁A．
∵AA₁⊥平面 ABCD，∴D₁H⊥平面ABCD．
∴∠D₁DH为侧棱DD₁与底面ABCD所成的角．
在Rt△D₁DH中，DH=2-1=1，DD₁=2，∴，∴∠D₁DH=60°． …（8分）
（Ⅲ） 解：在Rt△D₁DH中，求得，而A₁A=D₁H，
所以． …（12分）
分析：（Ⅰ）证明平面A₁ACC₁⊥平面B₁BDD₁，只需证明线面垂直，即证BD⊥平面A₁ACC₁；
（Ⅱ）过D₁作D₁H⊥AD于H，则D₁H∥A₁A，可得∠D₁DH为侧棱DD₁与底面ABCD所成的角，进而在Rt△D₁DH中可求；
（Ⅲ）在Rt△D₁DH中，求得，而A₁A=D₁H，从而可求四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积．
点评：本题考查面面垂直，考查面面角，考查棱台的体积，解题的关键是利用线面垂直证明面面垂直，正确作出面面角，属于中档题．