【题目】已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx
(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a、b的值;
(2)当a2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间,并求其在区间(﹣∞,﹣1)上的最大值.
【答案】
(1)解:f(x)=ax2+1(a>0),则f'(x)=2ax,k1=2a,g(x)=x3+bx,则g′(x)=3x2+b,k2=3+b,
由(1,c)为公共切点,可得:2a=3+b ①
又f(1)=a+1,g(1)=1+b,
∴a+1=1+b,即a=b,代入①式可得:
(2)解:由题设a2=4b,设
则 ,令h'(x)=0,解得: , ;
∵a>0,∴ ,
x | (﹣∞,﹣ ) | ﹣ | - | ) | |
h′(x) | + | ﹣ | + | ||
h(x) | 极大值 | 极小值 |
∴原函数在(﹣∞,﹣ )单调递增,在 单调递减,在 )上单调递增
①若 ,即0<a≤2时,最大值为 ;
②若 <﹣ ,即2<a<6时,最大值为
③若﹣1≥﹣ 时,即a≥6时,最大值为h(﹣ )=1
综上所述:当a∈(0,2]时,最大值为 ;当a∈(2,+∞)时,最大值为
【解析】(1)根据曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,可知切点处的函数值相等,切点处的斜率相等,故可求a、b的值;(2)根据a2=4b,构建函数 ,求导函数,利用导数的正负,可确定函数的单调区间,进而分类讨论,确定函数在区间(﹣∞,﹣1)上的最大值.
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数是解答本题的根本,需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减;求函数在上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数在内的极值;(2)将函数的各极值与端点处的函数值,比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值.
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【题目】已知圆心在轴上的圆与直线切于点.圆: .
(1)求圆的标准方程;
(2)已知,圆与轴相交于两点(点在点的右侧).过点任作一条倾斜角不为0的直线与圆相交于两点.问:是否存在实数,使得?若存在,求出实数的值,若不存在,请说明理由.
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【题目】函数f(x)在[a,b]上有定义,若对任意x1 , x2∈[a,b],有 则称f(x)在[a,b]上具有性质P.设f(x)在[1,3]上具有性质P,现给出如下命题:
①f(x)在[1,3]上的图象是连续不断的;
②f(x2)在[1, ]上具有性质P;
③若f(x)在x=2处取得最大值1,则f(x)=1,x∈[1,3];
④对任意x1 , x2 , x3 , x4∈[1,3],有 [f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)]
其中真命题的序号是( )
A.①②
B.①③
C.②④
D.③④
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【题目】已知集合A={x∈R|3x+2>0},B={x∈R|(x+1)(x﹣3)>0},则A∩B=( )
A.(﹣∞,﹣1)
B.(﹣1, )
C.﹙ ,3﹚
D.(3,+∞)
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【题目】已知f(x)=m(x﹣2m)(x+m+3),g(x)=2x﹣2,若同时满足条件:
①x∈R,f(x)<0或g(x)<0;
②x∈(﹣∞,﹣4),f(x)g(x)<0.
则m的取值范围是
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【题目】已知函数f(x)=ln(x+1)+ax,其中a∈R.
(Ⅰ) 当a=﹣1时,求证:f(x)≤0;
(Ⅱ) 对任意x2≥ex1>0,存在x∈(﹣1,+∞),使 成立,求a的取值范围.(其中e是自然对数的底数,e=2.71828…)
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【题目】设一组数据的平均数是2.8,方差是3.6,若将这组数据中的每一个数据都加上10,得到一组新数据,则所得新数据的平均数和方差分别是( )
A.12.8 3.6 B.2.8 13.6 C.12.8 13.6 D.13.6 12.8
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【题目】在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点,如果函数f(x)的图象恰好通过n()个整点,则称函数f(x)为n阶整点函数。有下列函数:
① ② ③ ④
其中是一阶整点的是( )
A. ①②③④ B. ①③④ C. ④ D. ①④
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