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【题目】已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx
(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a、b的值;
(2)当a2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间,并求其在区间(﹣∞,﹣1)上的最大值.

【答案】
(1)解:f(x)=ax2+1(a>0),则f'(x)=2ax,k1=2a,g(x)=x3+bx,则g′(x)=3x2+b,k2=3+b,

由(1,c)为公共切点,可得:2a=3+b

又f(1)=a+1,g(1)=1+b,

∴a+1=1+b,即a=b,代入①式可得:


(2)解:由题设a2=4b,设

,令h'(x)=0,解得:

∵a>0,∴

x

(﹣∞,﹣

-

h′(x)

+

+

h(x)

极大值

极小值

∴原函数在(﹣∞,﹣ )单调递增,在 单调递减,在 )上单调递增

①若 ,即0<a≤2时,最大值为

②若 <﹣ ,即2<a<6时,最大值为

③若﹣1≥﹣ 时,即a≥6时,最大值为h(﹣ )=1

综上所述:当a∈(0,2]时,最大值为 ;当a∈(2,+∞)时,最大值为


【解析】(1)根据曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,可知切点处的函数值相等,切点处的斜率相等,故可求a、b的值;(2)根据a2=4b,构建函数 ,求导函数,利用导数的正负,可确定函数的单调区间,进而分类讨论,确定函数在区间(﹣∞,﹣1)上的最大值.
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数是解答本题的根本,需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减;求函数上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数内的极值;(2)将函数的各极值与端点处的函数值比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值.

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