考点:数学归纳法,函数零点的判定定理
专题:综合题,点列、递归数列与数学归纳法
分析:(Ⅰ)计算f(-1),f(0),f(1),f(3),f(4),结合x
i∈[m,m+1)(m∈Z),写出所有的m值;
(Ⅱ)确定0<g(0)<g(x
2)=x
2<g(1)<1,用数学归纳法证明:a
1<a
2<…<a
n<x
2;
((Ⅲ)
h(x)=-e,h(x)在R上单调递减,即可证明结论.
解答:
解:(Ⅰ)
f(-1)=3->0,f(0)=-1<0,f(1)=3-e>0,f(3)=3
3-e
3>0,f(4)=48-e
4<0
所以m=-1,0,3…(3分)
(Ⅱ)
g(x)=e,g(x)在R上单调递增,当0<x<1时,
0<g(x)<g(1)=<1,…(1分)
由(Ⅰ)知,0<x
2<1,f(x
2)=3x
22-
ex2=0,
即
g(x2)=e=x2…(2分)
所以0<g(0)<g(x
2)=x
2<g(1)<1①
下面用数学归纳法证明0<a
1<a
2<a
3<…<a
n<x
2由式①知,0<a
1<x
2,所以0<g(0)<g(a
1)<g(x
2),
即0<a
1<a
2<x
2,所以,当n=1,2时,命题成立
假设n=k(k≥2)时命题成立,即0<a
1<a
2<a
3<…<a
k<x
2②
当n=k+1时,由式②得0<g(0)<g(a
1)<g(a
2)<g(a
3)<…<g(a
k)<g(x
2)
即0<a
1<a
2<a
3<…<a
k<a
k+1<x
2当n=k+1时,命题也成立,
所以a
1<a
2<…<a
n<x
2…(7分)
(Ⅲ)
h(x)=-e,h(x)在R上单调递减,由于-1<x
1<0,所以
-1<h(0)=-<h(x1)=x1<0,即-1<b
1<x
1<0,可推出-1<h(0)<h(x
1)<h(b
1)<0,即-1<b
1<x
1<b
2<0
进而可得-1<h(0)<h(b
2)<h(x
1)<h(b
1)<0,
即-1<b
1<b
3<x
1<b
2<0,又可得-1<h(0)<h(b
2)<h(x
1)<h(b
3)<h(b
1)<0
即-1<b
1<b
3<x
1<b
4<b
2<0,所以可得b
1<b
3<…<b
2n-1<x
1<b
2n<…<b
4<b
2…(3分)
点评:本题考查函数的零点,考查数学归纳法,考查学生分析解决问题的能力,属于难题.