Question

【题目】定义区间，，，的长度为.如果一个函数的所有单调递增区间的长度之和为（其中，为自然对数的底数），那么称这个函数为“函数”.下列四个命题：

①函数不是“函数”；

②函数是“函数”，且；

③函数是“函数”；

④函数是“函数”，且.

其中正确的命题的个数为（ ）

A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个

Answer 1

【答案】B

【解析】

利用导数、函数的图象，对四个命题逐一判断出真假。

分析命题①： 定义域为，，

，函数在上是单调递增，显然这个区间没有长度，因此函数不是“函数”，故命题①是真命题。

分析命题②：，定义域为，

当时，函数是增函数，

构造两个函数，，图象如下图所示：

通过图象可知当，而，即， ，所以当时，函数是增函数，增区间的长度为，又因为显然有成立，所以函数是“m函数”， 即成立，故命题②是真命题。

分析命题③： 函数 定义域为，

显然时，，此时函数是单调递增函数，增区间为，而区间没有长度，故函数不是“函数”，故命题③是假命题。

分析命题④：函数 定义域，

当时，是增函数，故只需成立，是增函数，

也就是成立，是增函数，构造二个函数， 如下图所示：

通过图象可知：当时，，而，所以。从而有时，时，函数是增函数，显然区间长度为，而

所以函数是“函数”，又，即。故命题④是真命题。

综上所述：正确的命题的个数为3个，故本题选B。