Question

（2012•青州市模拟）已知点F₁，F₂分别为椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点，点P为椭圆上任意一点，P到焦点F₂的距离的最大值为

2

+1，且△PF₁F₂的最大面积为1．
（ I）求椭圆C的方程．
（ II）点M的坐标为(

5

4

，0)，过点F₂且斜率为k的直线L与椭圆C相交于A，B两点．对于任意的k∈R，

MA

•

MB

是否为定值？若是求出这个定值；若不是说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用P到焦点F₂的距离的最大值为

2

+1，且△PF₁F₂的最大面积为1，结合a²=b²+c²，求出a，c，b可得椭圆的方程．
（Ⅱ）利用直线与椭圆方程，通过韦达定理，结合向量的数量积化简得到定值即可．

解答：解：（ I）由题意可知：a+c=

2

+1，

1

2

×2c×b=1，
∵a²=b²+c²
∴a²=2，b²=1，c²=1
∴所求椭圆的方程为：

x2

2

+y2=1…．（4分）
（ II）设直线l的方程为：y=k（x-1）A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（

5

4

，0）
联立直线与椭圆方程，消去y可得（2k²+1）x²-4k2x+2（k²-1）=0
则

x1+x2= 4k2 1+2k2 x1x2= 2k2-2 1+2k2 △＞0

MA =(x1- 5 4 ，y1) MB =(x2- 5 4 ，y2) ∴ MA • MB =(x1- 5 4 )(x2- 5 4 )+y1y2 =- 5 4 (x1+x2)+x1x2+ 25 16 +y1y2 =- 7 16

∴对于任意的k∈R，

MA

•

MB

为定值．

点评：本题是中档题，考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，注意余弦定理、面积公式椭圆的定义以及向量数量积的综合应用，考查计算能力，转化思想