Question

如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB=AE，FA=FE，∠AEF=45°．
（I）求证：EF⊥平面BCE；
（II）设线段CD、AE的中点分别为P、M，求证：PM∥平面BCE．

Answer 1

分析：（I）要证EF⊥平面BCE，只需证明BC⊥EF，EF⊥BE，说明BC，EB是平面BCE内的相交直线即可．
（II）线段CD、AE的中点分别为P、M，取BE的中点N，连接CN，MN，PM∥CN．CN在平面BCE内，PM不在平面BCE内，即可证明PM∥平面BCE．

解答：证明：（I）因为平面ABEF⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，BC⊥AB，平面ABEF∩平面ABCD=AB，
所以BC⊥平面ABEF．所以BC⊥EF．因为△ABE为等腰直角三角形，AB=AE，
所以∠AEB=45°，又因为∠AEF=45，所以∠FEB=90°，即EF⊥BE．
因为BC?平面ABCD，BE?平面BCE，BC∩BE=B
所以 EF⊥平面BCE；   …（7分）
（II）取BE的中点N，连接CN，MN，则MN=

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AB=PC，且MN∥

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2

AB∥PC
∴PMNC为平行四边形，所以PM∥CN．
∵CN在平面BCE内，PM不在平面BCE内，
∴PM∥平面BCE．…（14分）

点评：本题是中档题，考查直线与平面的平行，直线与平面垂直，的证明方法，注意定理条件的正确应用，考查空间想象能力．