Question

选修4-5：不等式选讲：
若关于x的方程x²-4x+|a-3|=0有实根
（Ⅰ）求实数a的取值集合A
（Ⅱ）若对于?a∈A，不等式t²-2at+12＜0恒成立，求t的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵关于x的方程x²-4x+|a-3|=0有实根，
∴△=16-4|a-3|≥0，即|a-3|≤4，
∴-4≤a-3≤4，∴-1≤a≤7，故实数a的取值集合A={a|-1≤a≤7 }，
（Ⅱ）∵对于?a∈A，不等式t²-2at+12＜0恒成立，令f（a）=-2at+t²+12，则f（a）＜0 恒成立．
故 f（-1）＜0 且f（7）＜0，即 2t+t²+12＜0 ①，且-14t+t²+12＜0 ②．
解①得 t∈∅，解②得 3＜t＜4．
综上可得，t的取值范围（3，4）．
分析：（Ⅰ）由题意可得△=16-4|a-3|≥0，由此解绝对值不等式求得实数a的取值集合A
（Ⅱ）令f（a）=-2at+t²+12，则f（a）＜0 恒成立．故 f（-1）＜0 且f（7）＜0，即 2t+t²+12＜0 ①且-14t+t²+12＜0 ②．分别求出①②的解集，再取并集，即得所求．
点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，一元二次不等式的解法，函数的恒成立问题，属于中档题．