Question

7．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A₁A=4，A₁在底面ABC的射影为BC的中点，D是B₁C₁的中点．
（Ⅰ）证明：A₁D⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）求四棱锥A₁-BB₁C₁C的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设E为BC的中点，连接A₁E，AE，DE，由题意得A₁E⊥平面ABC，从而AE⊥平面A₁BC，推导出四边形A₁AED为平行四边形，由此能证明A₁D⊥平面A₁BC．
（Ⅱ）由${V}_{{A}_{1}-B{B}_{1}{C}_{1}C}=\frac{2}{3}{V}_{{{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}-ABC}^{\;}}$，能求出四棱锥A₁-BB₁C₁C的体积．

解答 （本题满分12分）
证明：（Ⅰ）设E为BC的中点，连接A₁E，AE，DE，
由题意得A₁E⊥平面ABC
所以A₁E⊥AE，因为AB=AC，所以AE⊥BC
故AE⊥平面A₁BC…（3分）
由D，E分别为B₁C₁，BC的中点，
得DE∥B₁B且DE=B₁B，从而DE∥A₁A，DE=A₁A，
所以四边形A₁AED为平行四边形
故A₁D∥AE，又因为AE⊥平面A₁BC
所以A₁D⊥平面A₁BC…（6分）
解：（Ⅱ）由$AE=EB=\sqrt{2}，∠{A_1}EA=90°，{A_1}A=4$，
得${A_1}E=\sqrt{14}$，S_△ABC=2，（9分）
由${V_{{A_1}-ABC}}=\frac{1}{3}|{{A_1}E}|•{S_{△ABC}}，{V_{ABC-{A_1}{B_1}{C_1}}}=|{{A_1}E}|•{S_{△ABC}}$，
得${V_{{A_1}-B{B_1}{C_1}C}}=\frac{2}{3}{V_{{A_1}{B_1}{C_1}-ABC}}=\frac{2}{3}×2×\sqrt{14}=\frac{{4\sqrt{14}}}{3}$，
∴四棱锥A₁-BB₁C₁C的体积为$\frac{4\sqrt{14}}{3}$．（12分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．