已知椭圆的离心率为.且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为． (Ⅰ)求椭圆的方程, (Ⅱ)设直线与椭圆交于两点.且以为直径的圆过椭圆的右顶点. 求面积的最大值．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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（本小题满分14分）

已知椭圆的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，且以为直径的圆过椭圆的右顶点，

求面积的最大值．

（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）因为椭圆上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为，

所以， ……………1分

又椭圆的离心率为，即，所以， ………………2分

所以，. ………………4分

所以，椭圆的方程为. ………………5分

（Ⅱ）方法一：不妨设的方程，则的方程为.

由得， ………………6分

设，，因为，所以， …………7分

同理可得， ………………8分

所以，， ………………10分

， ………………12分

设，则， ………………13分

当且仅当时取等号，所以面积的最大值为. ………………14分

方法二：不妨设直线的方程.

由消去得， ………………6分

设，，

则有，. ① ………………7分

因为以为直径的圆过点，所以 .

由，

得 . ………………8分

将代入上式，

得 .

将 ① 代入上式，解得或（舍）. ………………10分

所以（此时直线经过定点，与椭圆有两个交点），

所以

. ……………12分

设，

则.

所以当时，取得最大值. ……………14分

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