Question

【题目】若函数f（x）满足：f（1）=1，f（x）f（y）=f（x+y）+f（x﹣y）（x∈R，y∈R），则f（2016）= ．

Answer 1

【答案】-1
【解析】解：∵函数f（x）满足：f（1）=1，f（x）f（y）=f（x+y）+f（x﹣y）（x∈R，y∈R）， ∴取x=1，y=0，得f（0）=f（1）+f（1）=2，
取x=y=1，得1=f（2）+f（0）=f（2）+2，得f（2）=﹣1，
取x=0，得f（0）f（y）=f（y）+f（﹣y），∴f（y）+f（﹣y）=2f（y），∴f（x）是偶函数，
取x=y=2，得f（2）f（2）=f（4）+f（0），∴1=f（4）+2，解得f（4）=﹣1，
取x=y=4，得f（4）f（4）=f（8）+f（0），∴1=f（8）+2，解得f（8）=﹣1，
…
以此类推，得到：f（2016）=﹣1．
所以答案是：﹣1．
【考点精析】关于本题考查的函数的值，需要了解函数值的求法：①配方法(二次或四次)；②“判别式法”；③反函数法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法才能得出正确答案．