Question

设函数f(x)=ln

kx-1

x-1

．
（I）当k=-1时，判断f（x）的奇偶性并给予证明；
（II）若f（x）在[e，+∞）上单调递增，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由k=-1代入，确定函数的解析式与定义域，判断定义域是否关于原点对称，若对称再判断f（-x）与f（x）的关系，根据函数奇偶性的定义可得答案．
（II）根据复合函数的单调性，可得若f（x）在[e，+∞）上单调递增，则u=g(x)=

kx-1

x-1

在[e，+∞）上是增函数，且g（x）＞0在[e，+∞）上恒成立，求导后构造关于k的不等式组，解得可得答案．

解答：解：（Ⅰ）当k=-1时，函数f(x)=ln

-x-1

x-1

，
定义域为（-1，1），关于原点对称．                               …（2分）
且f(-x)=ln

x-1

-x-1

．
所以f(x)+f(-x)=ln

-x-1

x-1

+ln

x-1

-x-1

=ln(

-x-1

x-1

•

x-1

-x-1

)=ln1=0，
即f（-x）=-f（x）．
所以当k=-1时，函数f（x）的奇函数．                            …（6分）
（Ⅱ）因为y=lnu是增函数，
所以由题意，u=g(x)=

kx-1

x-1

在[e，+∞）上是增函数，且g（x）＞0在[e，+∞）上恒成立．   …（8分）
即g′(x)=

1-k

(x-1)2

＞0对于x∈[e，+∞）恒成立且g（e）＞0…（10分）
所以

1-k＞0 ek-1 e-1 ＞0

，解得

1

e

＜k＜1．
所以k的取值范围是(

1

e

，1)．    …（12分）

点评：本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性的综合应用，（I）的关键是掌握证明函数奇偶性的方法及步骤，（II）的关键是分析出u=g(x)=

kx-1

x-1

在[e，+∞）上是增函数，且g（x）＞0在[e，+∞）上恒成立．