Question

【题目】【南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟】（本小题满分16分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的椭圆C：＋＝1经过点(b，2e)，其中e为椭圆C的离心率．过点T(1，0)作斜率为k(k＞0)的直线l交椭圆C于A，B两点(A在x轴下方)．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过点O且平行于l的直线交椭圆C于点M，N，求的值；

（3）记直线l与y轴的交点为P．若＝，求直线l的斜率k．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】（1）因为椭圆 ＋＝1经过点(b，2e)，所以＋＝1．

因为e2＝＝，所以＋＝1．

因为a2＝b2＋c2，所以 ＋＝1． …………………… 2分

整理得 b4－12b2＋32＝0，解得b2＝4或b2＝8(舍) ．

所以椭圆C的方程为＋＝1． …………………… 4分

（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为T(1，0)，则直线l的方程为y＝k(x－1)．

联立直线l与椭圆方程

消去y，得 (2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－8＝0，

所以 x1＋x2=4k2 / (2k2＋1), x1x2= (2k2－8) / (2k2＋1) ……………… 6分

因为MN∥l，所以直线MN方程为y＝kx，

联立直线MN与椭圆方程

消去y得 (2k2＋1)x2＝8，解得x2＝．

因为MN∥l，所以 ＝． …………………… 8分

因为 (1－x1)·(x2－1)＝－[x1x2－(x1＋x2)＋1]＝ ，

(xM－xN)2＝4x2＝，

所以 ＝＝·＝． ………………… 10分

（3）在y＝k(x－1)中，令x＝0，则y＝－k，所以P(0，－k)，

从而 ＝(－x1,－k－y1)， ＝(x2－1，y2)．

因为 ＝，所以－x1＝(x2－1)，即x1＋x2＝．…………………… 12分

由(2)知， x1＋x2=4k2 / (2k2＋1),

因为x1x2＝， 所以 ×＝，

整理得 50k4－83k2－34＝0，解得k2＝2或k2＝－ (舍) ．

又因为k＞0，所以k＝． …………………… 16分