Question

13．已知函数f（x）=2^x，且f（a+2）=8．
（1）求a的值；
（2）设函数g（x）=a-$\frac{2a}{f（x）+1}$，判断g（x）的单调性，并用定义法证明；
（3）若函数h（x）=me^ax+e^2x（其中e=2.718…），x∈[0，ln2]的最小值为0，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由指数的运算法则，计算即可得到a=1；
（2）由指数函数的单调性，可得g（x）在R上递增，运用单调性的定义即可证得；
（3）运用配方和换元法，可得y=（t+$\frac{m}{2}$）²-$\frac{{m}^{2}}{4}$，讨论对称轴t=-$\frac{m}{2}$和区间[1，2]的关系，由单调性，即可得到最小值，计算可得m=-1．

解答 解：（1）由题意可得2^a+2=8，
即a+2=3，解得a=1；
（2）函数g（x）=a-$\frac{2a}{f（x）+1}$=1-$\frac{2}{1+{2}^{x}}$
在R上递增．
理由如下：设m＜n，g（m）-g（n）=$\frac{2}{1+{2}^{n}}$-$\frac{2}{1+{2}^{m}}$=$\frac{2（{2}^{m}-{2}^{n}）}{（1+{2}^{m}）（1+{2}^{n}）}$，
由m＜n，可得0＜2^m＜2ⁿ，即有g（m）-g（n）＜0，
即g（m）＜g（n），则g（x）在R上递增；
（3）h（x）═me^x+e^2x=（e^x+$\frac{m}{2}$）²-$\frac{{m}^{2}}{4}$，
x∈[0，ln2]，即有t=e^x∈[1，2]，
y=（t+$\frac{m}{2}$）²-$\frac{{m}^{2}}{4}$，
当-$\frac{m}{2}$≤1，即m≥-2时，函数在[1，2]递增，即有t=1取得最小值，
即有m+1=0，解得m=-1，成立；
当1＜-$\frac{m}{2}$＜2，即-4＜m＜-2时，函数在t=-$\frac{m}{2}$时取得最小值，且为-$\frac{{m}^{2}}{4}$=0，
解得m=0，不成立；
当-$\frac{m}{2}$≥2即m≤-4时，函数在[1，2]递减，即有t=2时，取得最小值，
即有2m+4=0，解得m=-2，不成立．
综上可得m=-1．

点评 本题考查指数函数的单调性的运用，考查可化为二次函数的最值的求法，注意运用换元法和分类讨论的思想方法，属于中档题．