Question

（2013•蚌埠二模）已知△ABC中，点A、B的坐标分别为(-

2

，0)，B(

2

，0)，点C在x轴上方．
（1）若点C坐标为(

2

，1)，求以A、B为焦点且经过点C的椭圆的方程；
（2）过点P（m，0）作倾角为

3

4

π的直线l交（1）中曲线于M、N两点，若点Q（1，0）恰在以线段MN为直径的圆上，求实数m的值．

Answer 1

分析：（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），确定椭圆的几何量，即可求出以A、B为焦点且经过点C的椭圆的方程；
（2）设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及Q恰在以MN为直径的圆上，即可求实数m的值．

解答：解：（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），则c=

2

，
∵C(

2

，1)，A(-

2

，0)，B(

2

，0)，
∴2a=|AC|+|BC|=4，b=

a2-c2

=

2

，
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

2

=1（5分）
（2）直线l的方程为y=-（x-m），令M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
将y=-（x-m）代入椭圆方程

x2

4

+

y2

2

=1，消去y可得6x²-8mx+4m²-8=0
∴

x1+x2= 4m 3 x1x2= 2m2-4 3

，
若Q恰在以MN为直径的圆上，则

y1

x1-1

×

y2

x2-1

=-1，
即m²+1-（m+1）（x₁+x₂）+2x₁x₂=0，
∴3m²-4m-5=0
解得m=

2± 19

3

．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是直线与椭圆方程的联立，利用韦达定理解题．