Question

20．已知直线l₁：4x-3y+6=0和直线l₂：x=0，抛物线y²=4x上一动点P到直线l₁和直线l₂的距离之和的最小值是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 抛物线y²=4x上一动点P到直线l₁和直线l₂的距离之和转化为：抛物线y²=4x上一动点P到直线l₁和直线x=1的距离之和，x=-1是抛物线y²=4x的准线，则P到x=-1的距离等于PF，抛物线y²=4x的焦点F（1，0）过P作4x-3y+6=0垂线，和抛物线的交点就是P，所以点P到直线l₁：4x-3y+6=0的距离和到直线l₂：x=-1的距离之和的最小值就是F（1，0）到直线4x-3y+6=0距离．

解答 解：x=-1是抛物线y²=4x的准线，则P到x=-1的距离等于PF，
抛物线y²=4x的焦点F（1，0）
过P作4x-3y+6=0垂线，和抛物线的交点就是P，
所以点P到直线l₁：4x-3y+6=0的距离和到直线l₂：x=-1的距离之和的最小值
就是F（1，0）到直线4x-3y+6=0距离，
所以最小值=$\frac{|4-0+6|}{\sqrt{{4}^{2}+{（-3）}^{2}}}$=2．
直线l₁：4x-3y+6=0和直线l₂：x=0，抛物线y²=4x上一动点P到直线l₁和直线l₂的距离之和的最小值是：2-1=1
故选：A．

点评 本题考查点到直线的距离公式的求法，是中档题．解题时要认真审题，注意抛物线的性质的灵活运用．