Question

在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，0），B（-2，0），C（-2，1）．设k为非零实数，矩阵M=

.

k 0 0 1

.

，N=

.

0 1 1 0

.

，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A₁、B₁、C₁，△A₁B₁C₁的面积是△ABC面积的2倍，
（1）求k的值．
（2）判断变换MN是否可逆，如果可逆，求矩阵MN的逆矩阵；如不可逆，说明理由．

Answer 1

分析：（1）先计算MN，再求点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A₁、B₁、C₁的坐标，利用△A₁B₁C₁的面积是△ABC面积的2倍，可求k的值．
（2）先设 B=

a b c d

是MN的逆矩阵，则则 AB=

0 k 1 0

a b c d

=

1 0 0 1

列出关于a，b，c，d的方程组，讨论方程是否有解即可．

解答：解：（1）由题设得MN=

k 0

0 1

0 1

1 0

=

0 1

k 0

，
由

0 1

k 0

0 0

-2 0

-2 1

=

0 0

0 -2

k -2

，
可知A₁（0，0）、B₁（0，-2）、C₁（k，-2）．
计算得△ABC面积的面积是1，△A₁B₁C₁的面积是|k|，
则由题设知：|k|=2×1=2．
所以k的值为2或-2．
（2）令MN=A，设 B=

a b c d

是A的逆矩阵，则 AB=

0 k 1 0

a b c d

=

1 0 0 1

⇒

ck dk a b

=

1 0 0 1

⇒

ck=1 dk=0 a=0 b=1

①当k≠0时，上式⇒

a=0 b=1 c= 1 k d=0

，MN可逆，（8分）
所以MN的逆矩阵是 B=

0 1 1 k 0

．（10分）
②当k≠0时，上式不可能成立，MN不可逆，（11分）．

点评：本题主要考查逆变换与逆矩阵、图形在矩阵对应的变换下的变化特点，要求知识较少，但重点考查运算求解能力．