Question

设函数f(x)=2x³-3(a-1)x²+1,其中a≥1.

(1)求f(x)的单调区间;

(2)讨论f(x)的极值.

所以f(-1)=2是极大值,f(1)=-2是极小值.

(2)曲线方程为y=x³-3x,点A(0,16)不在曲线上.

设切点为M(x₀,y₀),则点M的坐标满足y₀=x₀³-3x₀.

因f′(x₀)=3(x₀²-1),故切线的方程为y-y₀=3(x₀²-1)(x-x₀).

注意到点A(0,16)在切线上,有16-(x₀³-3x₀)=3(x₀²-1)(0-x₀),

化简得x₀³=-8,解得x₀=-2.

所以切点为M(-2,-2),

切线方程为9x-y+16=0.

Answer 1

解:由已知得f′(x)=6x［x-(a-1)］,

令f′(x)=0,解得x₁=0,x₂=a-1.

(1)当a=1时,f′(x)=6x²,f(x)在(-∞,+∞)上递增.

当a＞1时,f′(x)=6x［x-(a-1)］.

f′(x)、f(x)随x的变化情况如下表:

x	(-∞,0)	0	(0,a-1)	a-1	(a-1,+∞)
f′(x)	+	0	-	0	+
f(x)	增	极大值	减	极小值	增

从上表可知,函数f(x)在(-∞,0)上单调递增;

在(0,a-1)上单调递减;在(a-1,+∞)上单调递增.

(2)由(1)知,当a=1时,函数f(x)没有极值.

当a＞1时,函数f(x)在x=0处取得极大值1,在x=a-1处取得极小值1-(a-1)³.