Question

已知两定点M（-2，0），N（2，0），若直线上存在点P，使得|PM|-|PN|=2，则该直线为“给力直线”，给出下列直线，其中是“给力直线”的是

①③

（将正确的序号标上）
①y=x+1　　　②y=-

3

x-3　　　③x=-2　　④y=-2x+3．

Answer 1

分析：根据双曲线的定义，可求得点P的轨迹方程，从而可利用双曲线的性质结合新定义“给力直线”即可获得答案．

解答：解：∵两定点M（-2，0），N（2，0），直线上存在点P（x，y），使得|PM|-|PN|=2，
∴点P的轨迹是双曲线，其中2a=2，2c=4，
∴点P的轨迹方程方程为：x²-

y2

3

=1（x≥1），
∴其渐近线方程为：y=±

3

x，
∵①y=x+1经过（0，1）且斜率k=1＜

3

，
∴该直线与双曲线x²-

y2

3

=1（x≥1）有交点，
∴该直线是“给力直线”；
对于②，∵y=-

3

x+2经过（0，2）且斜率k=-

3

，显然该直线与其渐近线方程y=-

3

x平行，该直线与双曲线无交点，
∴该直线不是“给力直线”，即②不符合；
对于③，∵y=-2经过（0，-2）且斜率k=0，
∴该直线与双曲线x²-

y2

3

=1（x≥1）有交点，故③符合；
同理可得，④y=-2x+3的斜率k=-2＜-

3

，
∴该直线与双曲线x²-

y2

3

=1（x≥1）无交点，
综上所述，①③符合．
故答案为：①③．

点评：本题考查双曲线的概念与性质，考查其渐近线方程的应用，突出转化思想与分析应用能力的考查，属于中档题．