Question

某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外围是一个周长为k米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连．经预算，摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为8k元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为[

(1024 x +20)x

100

+2]k元．假设座位等距离分布，且至少有两个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记摩天轮的总造价为y元．
（1）试写出y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（2）当k=100米时，试确定座位的个数，使得总造价最低？

Answer 1

分析：（1）由题意，总造价y中包括座位和圆心处的支点间的钢管的费用，相邻座位之间的钢管与座位的费用，故只需算出座位的个数即知钢管的个数，将两项费用表示出来，相加即得y关于x的函数关系式；
（2）将k=100米代入函数关系式求出最值即得最低的总造价．

解答：解：（1）设摩天轮上总共有n个座位，则x=

k

n

即n=

k

x

，y=8k

k

x

+

k

x

[

(1024 x +20)x

100

+2]k=k2(

10

x

+

1024 x +20

100

)，
定义域{x|0＜x≤

k

2

，

k

x

∈Z}；（6分）
（2）当k=100时，令y=100(

1000

x

+1024

x

+20)f(x)=

1000

x

+1024

x

，
则f′(x)=-

1000

x2

+512

1

x

=

-1000+512x 3 2

x2

=0，
∴x

3

2

=

125

64

?x=(

125

64

)

2

3

=

25

16

，（10分）
当x∈(0，

25

16

)时，f′（x）＜0，即f（x）在x∈(0，

25

16

)上单调减，
当x∈(

25

16

，50)时，f′（x）＞0，即f（x）在x∈(

25

16

，50)上单调增，
y_min在x=

25

16

时取到，此时座位个数为

100

25 16

=64个．（15分）

点评：本题是常见的利用导数解决现实中造价最优的一个应用题，审题与构造函数是重点，在求最值时要根据函数的形式选择合适的方法．