Question

【题目】如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为D1D的中点，AC与BD的交点为O．

（1）求证：EO⊥平面AB1C；

（2）在由正方体的顶点确定的平面中，是否存在与平面AB1C平行的平面？证明你的结论

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）存在平面A1C1D与平面AB1C平行．见解析

【解析】

（1）根据正方体的几何特征，易证 AC⊥平面BDD1B1，则AC⊥EO．在矩形BDD1B1中，利用勾股定理，有，即B1O⊥OE，再利用线面垂直的判定定理证明.

（2）存在平面A1C1D与平面AB1C平行．在正方体中，易得 A1C1∥平面AB1C，A1D∥平面AB1C，利用面面平行的判定定理证明.

（1）如图所示：连结B1D1，

在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC⊥BD，BB1⊥AC，

又BB1平面BDD1B1，BD平面BDD1B1，且BB1∩BD＝B，

所以AC⊥平面BDD1B1，

连结B1O，B1E，

又EO平面BDD1B1，则AC⊥EO．

在矩形BDD1B1中，设DD1＝1，则，

所以，

则，即B1O⊥OE．

又B1O平面AB1C，EO平面AB1C，且B1O∩EO＝O，

所以OE⊥平面AB1C；

（2）存在平面A1C1D与平面AB1C平行．

证明如下：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1C1∥AC，A1D∥B1C，

又AC平面AB1C，B1C平面AB1C，A1C1平面AB1C，A1D平面AB1C，

所以A1C1∥平面AB1C，A1D∥平面AB1C，

又A1C1平面A1C1D，A1D平面A1C1D，且A1C1∩A1D＝A1，

所以平面A1C1D∥平面AB1C．