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已知函数f(x)的定义域为R,对任意x1,x2都满足f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),当x>0时f(x)>0.
(1)试判断f(x)的奇偶性和单调性;
(2)当数学公式时,f(cos2θ-3)+f(4m-2mcosθ)>0对所有的θ均成立,求实数m的取值范围.

解:(1)∵f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),令x1=x2=0得f(0)=0.
再令x1=x,x2=-x,则f(0)=f(x)+f(-x)=0,∴f(-x)=-f(x).
∴f(x)为R上的奇函数.
设x1<x2,则x2-x1>0,当x>0时f(x)>0.∴f(x2-x1)>0
由f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)>0,∴f(x2)>f(x1
∴f(x)为R上的增函数.
(2)∵f(cos2θ-3)+f(4m-2mcosθ)>0,∴f(cos2θ-3)>-f(4m-2mcosθ)
∵f(x)为R上的奇函数,,即f(-x)=-f(x),∴f(cos2θ-3)>f(2mcosθ-4m)
又∵f(x)为R上的增函数,cos2θ-3>2mcosθ-4m对所有的均成立,2cos2θ-4>2m(cosθ-2)恒成立,又∵cosθ-2<0,∴恒成立,
又∵
,∴0≤cosθ≤1,∴cosθ-2<0,

当且仅当时取等号.


分析:(1)先求得f(x),令x=y=0,有f(0)=0,再令x1=x,x2=-x,即f(-x)=-f(x),故f(x)为奇函数.在R上任取x1<x2,则x1-x2<0,再比较f(x1)和f(x2)的大小,从而得出:f(x)是增函数;
(2)根据f(x)为R上的增函数也是奇函数,f(cos2θ-3)+f(4m-2mcosθ)>0对所有的θ均成立可转化成cos2θ-3>2mcosθ-4m对所有的均成立,然后利用分离法即可求出实数m的取值范围.
点评:本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、不等式的解法等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.属于中档题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=log3
3
x
1-x
,M(x1y1),N(x2y2)
是f(x)图象上的两点,横坐标为
1
2
的点P满足2
OP
=
OM
+
ON
(O为坐标原点).
(Ⅰ)求证:y1+y2为定值;
(Ⅱ)若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)
,其中n∈N*,且n≥2,求Sn
(Ⅲ)已知an=
1
6
,                          n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
,n≥2
,其中n∈N*,Tn为数列{an}的前n项和,若Tn<m(Sn+1+1)对一切n∈N*都成立,试求m的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

下列说法正确的有(  )个.
①已知函数f(x)在(a,b)内可导,若f(x)在(a,b)内单调递增,则对任意的?x∈(a,b),有f′(x)>0.
②函数f(x)图象在点P处的切线存在,则函数f(x)在点P处的导数存在;反之若函数f(x)在点P处的导数存在,则函数f(x)图象在点P处的切线存在.
③因为3>2,所以3+i>2+i,其中i为虚数单位.
④定积分定义可以分为:分割、近似代替、求和、取极限四步,对求和In=
n
i=1
f(ξi)△x
中ξi的选取是任意的,且In仅于n有关.
⑤已知2i-3是方程2x2+px+q=0的一个根,则实数p,q的值分别是12,26.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=sin(2x-
π
6
),g(x)=sin(2x+
π
3
),直线y=m与两个相邻函数的交点为A,B,若m变化时,AB的长度是一个定值,则AB的值是(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

(Ⅰ)已知函数f(x)=x3-x,其图象记为曲线C.
(i)求函数f(x)的单调区间;
(ii)证明:若对于任意非零实数x1,曲线C与其在点P1(x1,f(x1))处的切线交于另一点P2(x2,f(x2)),曲线C与其在点P2(x2,f(x2))处的切线交于另一点P3(x3,f(x3)),线段P1P2,P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积记为S1,S2.则
S1S2
为定值;
(Ⅱ)对于一般的三次函数g(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),请给出类似于(Ⅰ)(ii)的正确命题,并予以证明.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=x3-ax+b存在极值点.
(1)求a的取值范围;
(2)过曲线y=f(x)外的点P(1,0)作曲线y=f(x)的切线,所作切线恰有两条,切点分别为A、B.
(ⅰ)证明:a=b;
(ⅱ)请问△PAB的面积是否为定值?若是,求此定值;若不是求出面积的取值范围.

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