解:①∵f(x)=x
2+2x-4lnx(x>0)
∴
(2分)
当x>1时,f'(x)>0,当0<x<1时,f'(x)<0
∴f(x)在(0,1)上单调减,在(1,+∞)上单调增
∴f(x)
min=f(1)=3(4分)
②
(5分)
若f(x)在(0,1)上单调增,则2x
2+2x+a≥0在x∈(0,1)上恒成立?a≥-2x
2-2x恒成立
令u=-2x
2-2x,x∈(0,1),则
,u
max=0
∴a≥0(7分)
若f(x)在(0,1)上单调减,则2x2+2x+a≤0在x∈(0,1)上恒成立?a≤[-2x
2-2x]
min=-4
综上,a的取值范围是:(-∞,-4]∪[0,+∞)(9分)
③(2t-1)
2+2(2t-1)+aln(2t-1)≥2t
2+4t+2alnt-3恒成立a[ln(2t-1)-2lnt]≥-2t
2+4t-2?a[ln(2t-1)-lnt
2]≥2[(2t-1)-t
2](10分)
当t=1时,不等式显然成立
当t>1时,
在t>1时恒成立(11分)
令
,即求u的最小值
设A(t
2,lnt
2),B(2t-1,ln(2t-1)),
,
且A、B两点在y=lnx的图象上,又∵t
2>1,2t-1>1,故0<k
AB<y'|
x=1=1
∴
,故a≤2
即实数a的取值范围为(-∞,2](14分)
分析:①先求出其导函数,得到其在定义域上的单调性即可求出f(x)的最小值;
②先求出其导函数,把f(x)在(0,1)上单调增转化为2x
2+2x+a≥0在x∈(0,1)上恒成立?a≥-2x
2-2x恒成立,再利用二次函数在固定区间上求最值的方法求出-2x
2-2x的最大值即可求实数a的取值范围;
③根据(2t-1)
2+2(2t-1)+aln(2t-1)≥2t
2+4t+2alnt-3恒成立则a[ln(2t-1)-2lnt]≥-2t
2+4t-2?a[ln(2t-1)-lnt
2]≥2[(2t-1)-t
2再讨论他的取值范围点评:该题考查函数的求导,利用导数求函数的单调性,利用恒等式求函数的最值问题,注意不要掉了自变量的取值范围.