Question

8．已知曲线C是由所有满足方程$\sqrt{（x+m）^{2}+{y}^{2}}$=|$\frac{m}{3}$x+3|的点组成的，其中m是正常数．
（1）判断曲线C的形状，并说明理由；
（2）若直线y=$\frac{2}{3}$$\sqrt{2}$（x+m）交C于不同的两点P，Q，PQ中点的横坐标为-$\frac{1}{2}$，求曲线C的方程．

Answer 1

分析 （1）原方程可化为$\frac{\sqrt{（x+m）^{2}+{y}^{2}}}{|x+\frac{9}{m}|}$=$\frac{m}{3}$，分类讨论，可得曲线C的形状；
（2）将C方程化简可得（1-$\frac{{m}^{2}}{9}$）x²+y²=9-c²．y=$\frac{2}{3}$$\sqrt{2}$（x+m）代入曲线，利用PQ中点的横坐标为-$\frac{1}{2}$，求出m，即可求曲线C的方程．

解答 解：（1）原方程可化为$\frac{\sqrt{（x+m）^{2}+{y}^{2}}}{|x+\frac{9}{m}|}$=$\frac{m}{3}$，
当m=3时，曲线C为直线y=0；当m＞3时为双曲线；当0＜m＜3时为椭圆．
（2）将C方程化简可得（1-$\frac{{m}^{2}}{9}$）x²+y²=9-c²．
　设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁+x₂=-1
y=$\frac{2}{3}$$\sqrt{2}$（x+m）代入曲线C得$\frac{17-{m}^{2}}{9}{x}^{2}+\frac{16}{9}m$x+$\frac{17}{9}{m}^{2}$-9=0
∴-$\frac{16m}{17-{m}^{2}}$=-1，∴m²+16m-17=0
∴m=1或m=-17（舍），∴C的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{8}=1$．

点评 本题考查轨迹方程，考查分类讨论的数学思想，可惜直线与曲线的位置关系，属于中档题．