Question

已知函数f（x）=x²+bx+c，
（1）若当且仅当x=-2时，函数f（x）取得最小值-2，求函数f（x）的表达式；
（2）在（1）的条件下，若方程f（x）=x+a（a∈R）至少有一个负根，求a取值的集合；
（3）若f（x）满足条件：

f(2)≤12 f(-1)≤3

求f（1）的取值范围；
（4）若0≤b≤4，0≤c≤4，且b，c∈Z，记函数f（x）满足条件（2）的事件为A，求事件A发生的概率．

Answer 1

分析：（1）当且仅当x=-2时，函数f（x）取得最小值-2，即已知函数f（x）=x²+bx+c的顶点坐标为（-2，-2），代入即可解得b、c的值
（2）方程f（x）=x+a即方程x²+3x-a=0，至少有一个负根即有两个负根或有一个正根和一个负根或有一个零根和一个负根，分别讨论a的取值范围，最后求并集即可
（3）

f(2)≤12 f(-1)≤3

即

2b+c-8≤0 b-c+2≥0

，f（1）=b+c+1，利用待定系数法，可得b+c+1=

2

3

(2b+c-8)-

1

3

(b-c+2)+7，由同向不等式相加性即可得f（1）的取值范围
（4）b有5个数可选，c也有5个数可选，故事件发生的总数为5×5=25种可能，利用列举法可得事件A的基本数为16，由古典概型概率公式可得事件A发生的概率

解答：解：（1）∵当且仅当x=-2时，函数f（x）取得最小值-2，
∴二次函数f（x））=x²+bx+c 的对称轴是x=-2
且有f（-2）=4-2b+c=-2，即2b-c=6，∴b=4，c=2
∴f（x））=x²+4x+2
（2）方程f（x）=x+a至少有一个负根，即方程x²+3x-a=0至少有一个负根
第一种：两个负根
∴

△=9-4(2-a)≥0 2-a＞0

⇒

a≥- 1 4 a＜2

⇒-

1

4

≤a＜2
第二种：一个正根和一个负根
2-a＜0⇒a＞2
第三种：一个零根和一个负根
2-a=0⇒a=2
综上可知：当方程f（x）=x+a（a∈R）至少有一个负根时，符合题意的实数a取值的集合为{a|a≥-

1

4

}                  
（3）由

f(2)≤12 f(-1)≤3

得

2b+c-8≤0 b-c+2≥0

而f（1）=b+c+1
设b+c+1=x（2b+c-8）+y（b-c+2）+z，得

x= 2 3 y=- 1 3 z=7

即得f（1）=b+c+1=

2

3

(2b+c-8)-

1

3

(b-c+2)+7，
∴可求得f（1）≤7，等号成立的条件是b=2．c=4．                
（4）事件发生的总数为5×5=25种可能，事件A的基本数为（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（1，3），（2，0），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，0），（3，1），（3，2），（4，0）共16种，故所求事件A发生的概率为

16

25

点评：本题综合考察了二次函数的图象和性质，二次方程根的分布，待定系数法求代数式的范围及古典概型的概率计算，题目综合性强，解题时要具有较强的综合能力和运算能力