Question

12．长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AA₁=AD=4，点E为AB中点．
（1）求证：BD₁∥平面A₁DE；
（2）求证：A₁D⊥平面ABD₁．

Answer 1

分析 （1）连结A₁D，AD₁，A₁D∩AD₁=O，连结OE，推导出OE∥BD₁，由此能证明BD₁∥平面A₁DE．
（2）推导出A₁D⊥AD₁，A₁D⊥AB，由此能证明A₁D⊥平面ABD₁．

解答 证明：（1）连结A₁D，AD₁，A₁D∩AD₁=O，连结OE，
∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，ADD₁A₁是矩形，
∴O是AD₁的中点，∴OE∥BD₁，
∵OE∥BD₁，OE?平面ABD₁，BD₁?平面ABD₁，
∴BD₁∥平面A₁DE．
（2）∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AA₁=AD=4，点E为AB中点，
∴ADD₁A₁是正方形，∴A₁D⊥AD₁，
∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB⊥平面ADD₁A₁，
∴A₁D⊥AB，
又AB∩AD₁=A，∴A₁D⊥平面ABD₁．

点评 本题考查线面平行、线面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．