Question

已知函数y=f（x）满足f（a-tanθ）=cotθ-1，（其中，a、θ∈R均为常数）
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）利用函数y=f（x）构造一个数列{x_n}，方法如下：
对于给定的定义域中的x₁，令x₂=f（x₁），x₃=f（x₂），…，x_n=f（x_n-1），…
在上述构造过程中，如果x_i（i=1，2，3，…）在定义域中，构造数列的过程继续下去；如果x_i不在定义域中，则构造数列的过程停止．
①如果可以用上述方法构造出一个常数列{x_n}，求a的取值范围；
②如果取定义域中的任一值作为x₁，都可以用上述方法构造出一个无穷数列{x_n}，求a实数的值．

Answer 1

分析：（1）由

x=a-tanθ y=cotθ-1

，可推导出y=f（x）=

x+1-a

a-x

，（x≠a）．
（2）①根据题意，只需当x≠a时，方程f（x）=x有解，方程x²+（1-a）x+1-a=0有不等于a的解．将x=a代入方程左边，得左边为1，故方程不可能有解x=a．由由根的判别式，可得a的取值范围是（-∞，3]∪[1，+∞）．
②根据题意，

x+1-a

a-x

=a在R中无解，亦即当x≠a时，方程（1+a）x=a²+a-1无实数解．由此能够导出a=-1．

解答：解：（1）令

x=a-tanθ y=cotθ-1

，则

tanθ=a-x，① cotθ=1+y，②

①×②，并整理，得y=

x+1-a

a-x

，
∴y=f（x）=

x+1-a

a-x

，（x≠a）．（4分）
（2）①根据题意，只需当x≠a时，方程f（x）=x有解，
亦即方程x²+（1-a）x+1-a=0有不等于a的解．
将x=a代入方程左边，得左边为1，故方程不可能有解x=a．
由△=（1-a）²-4（1-a）≥0，得a≤-3或a≥1，
即实数a的取值范围是（-∞，3]∪[1，+∞）．（9分）
②根据题意，

x+1-a

a-x

=a在R中无解，
亦即当x≠a时，方程（1+a）x=a²+a-1无实数解．
由于x=a不是方程（1+a）x=a²+a-1的解，
所以对于任意x∈R，方程（1+a）x=a²+a-1无实数解，
∴a=-1即为所求a的值．（14分）

点评：本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．