Question

在周长为16的三角形ABC中，AB=6，A，B所对的边分别为a，b，则abcosC的取值范围是

[7，16）

．

Answer 1

分析：由题意可得三角形ABC中，b=10-a，再由任意两边之和大于第三边可得 2＜a＜8，由余弦定理可得2ab•cosC=a²+b²-36=（a-5）²+7，再利用二次函数的性质求得abcosC的取值范围．

解答：解：由题意可得三角形ABC中，a+b=16-6=10，∴b=10-a．再由任意两边之和大于第三边可得 2＜a＜8．
由余弦定理可得 36=a²+b²-2ab•cosC，
∴2ab•cosC=a²+b²-36=a²-10a+32=（a-5）²+7，
∴7≤a＜9+7=16，
故abcosC的取值范围是[7，16），
故答案为[7，16）．

点评：本题主要考查余弦定理的应用，二次函数的性质的应用，属于中档题．