【题目】已知函数f(x)=3x , x∈[﹣1,1],函数g(x)=[f(x)]2﹣2af(x)+3.
(1)当a=0时,求函数g(x)的值域;
(2)若函数g(x)的最小值为h(a),求h(a)的表达式;
(3)是否存在实数m,n同时满足下列两个条件:①m>n>3;②当h(a)的定义域为[n,m]时,值域为[n2 , m2]?若存在,求出m,n的值;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)解:∵函数f(x)=3x,x∈[﹣1,1],∴ ,设t=3x, ,
则φ(t)=t2﹣2at+3=(t﹣a)2+3﹣a2,对称轴为t=a.
当a=0时,φ(t)=t2+3, ,∴φ(t)∈[ ,12],
∴函数g(x)的值域是:[ ,12];
(2)解:∵函数φ(t)的对称轴为t=a,
当a< 时,ymin=h(a)=φ( )= ;
当 时,ymin=h(a)=φ(a)=3﹣a2;
当a>3时,ymin=h(a)=φ(3)=12﹣6a.
故 ,
(3)解:假设满足题意的m,n存在,∵m>n>3,∴h(a)=12﹣6a,
∴函数h(a)在(3,+∞)上是减函数.
又∵h(a)的定义域为[n,m],值域为[n2,m2],
∴ ,两式相减得6(m﹣n)=(m﹣n)(m+n),
又∵m>n>3,∴m﹣n≠0,∴m+n=6,与m>n>3矛盾.
∴满足题意的m,n不存在
【解析】(1)设t=3x , 则φ(t)=t2﹣2at+3=(t﹣a)2+3﹣a2 , φ(t)的对称轴为t=a,当a=0时,即可求出g(x)的值域;(2)由函数φ(t)的对称轴为t=a,分类讨论当a< 时,当 时,当a>3时,求出最小值,则h(a)的表达式可求;(3)假设满足题意的m,n存在,函数h(a)在(3,+∞)上是减函数,求出h(a)的定义域,值域,然后列出不等式组,求解与已知矛盾,即可得到结论.
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的值域的相关知识,掌握求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的.事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的.
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【题目】已知函数y= +lg(﹣x2+4x﹣3)的定义域为M,
(1)求M;
(2)当x∈M时,求函数f(x)=a2x+2+34x(a<﹣3)的最小值.
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【题目】已知函数f(x)= .
(1)画出函数f(x)图象;
(2)求f(﹣a2﹣1)(a∈R),f(f(3))的值;
(3)当﹣4≤x<3时,求f(x)取值的集合.
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【题目】某企业生产A,B两种产品,根据市场调查与市场预测,A产品的利润与投资成正比,其关系如图(1);B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图(2)(注:所示图中的横坐标表示投资金额,单位为万元)
(1)分别求出A,B两种产品的利润表示为投资的函数关系式;
(2)该企业已筹集到10万元资金,并全部投入A,B两种产品的生产,问:怎样分配这10万元资金,才能使企业获得最大利润,最大利润是多少?
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【题目】如图所示,过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F作直线交C于A、B两点,过A、B分别向C的准线l作垂线,垂足为A′,B′,已知四边形AA′B′F与BB′A′F的面积分别为15和7,则△A′B′F的面积为 .
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【题目】已知A、B、C是椭圆M: =1(a>b>0)上的三点,其中点A的坐标为 ,BC过椭圆M的中心,且 .
(1)求椭圆M的方程;
(2)过点(0,t)的直线l(斜率存在时)与椭圆M交于两点P、Q,设D为椭圆M与y轴负半轴的交点,且 ,求实数t的取值范围.
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【题目】若不等式(a﹣2)x2+2(a﹣2)x﹣4<0对一切x∈R恒成立,则实数a取值的集合( )
A.{a|a≤2}
B.{a|﹣2<a<2}
C.{a|﹣2<a≤2}
D.{a|a≤﹣2}
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