Question

12．求下列双曲线的标准方程
（1）与双曲线$\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$有公共焦点，且过点（6$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$）的双曲线
（2）以椭圆3x²+13y²=39的焦点为焦点，以直线y=±$\frac{x}{2}$为渐近线的双曲线．

Answer 1

分析 （1）设出双曲线方程，利用与双曲线$\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$有公共焦点，且过点（6$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$），建立方程，即可求出双曲线的标准方程，并写出其渐近线方程．
（2）利用椭圆的方程求出双曲线的焦点坐标，设双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{10-{a}^{2}}$=1，根据直线y=±$\frac{x}{2}$为渐近线求出a²，可得答案．

解答 解：（1）设双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞0，b＞0），
由已知双曲线方程$\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$可求得c²=20．
∵两双曲线有公共的焦点，
∴a²+b²=20①
又双曲线过点（6$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$），∴$\frac{72}{{a}^{2}}-\frac{6}{{b}^{2}}$=1
由①②可解得：a²=18，b²=2，
故所求双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{18}-\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）椭圆3x²+13y²=39可化为$\frac{{x}^{2}}{13}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，其焦点坐标为（±$\sqrt{10}$，0），
∴设双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{10-{a}^{2}}$=1，
∵直线y=±$\frac{x}{2}$为渐近线，
∴$\frac{b}{a}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{10-{a}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{4}$，
∴a²=8，
故双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{8}-\frac{{y}^{2}}{2}$=1．

点评 本题考查椭圆、双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．