(Ⅰ)若a1=4,求正整数m,使,,am成等比数列;
(Ⅱ)若a1=4,那么{an}是否存在无穷等比子数列{}?请说明理由;
(Ⅲ)若{an}存在等比子数列,,,求整数a1的值.
解:(Ⅰ)由已知:an1=a1=4,=a3=6,
∴36=4·am ∴am=9,
又在等差数列{an}中:a1=4,a3=6,∴d=1,
∴通项an=4+(n-1)·1=n+3,
∴am=m+3=9,∴m=6.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知等差数列{an}的通项公式为an=n+3,
∴=nk+3.
假设存在无穷等比数列{},则在{}中:=a1=4,=a3=6,∴公比q=,
又是等比子数列{}中的等k项,
∴=·qk-1=4·()k-1,
因此:nk+3=4·()k-1,即nk=4·()k-1-3,
当k=4时,nk=4·-3=-3∈N*.
∴当a1=4时不存在无穷等比子数列{}.
(Ⅲ)由题意知:=·
即=a1
∴36=a1
又在{an}中,=a3+(n3-3)d
=6+(n3-3),代入上式得
36=a1·[6+(n3-3)],∴(n3-3)=.
若a1=6,则{an}的公差d==0矛盾.
∴a1≠6.
∴n3-3=,∴n3=+3,
又n3∈N*,∴a1应为12的因数且a1≠6,
∴所求a1的值为:1,2,3,4,12.
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