Question

定义在R上的单调增函数f（x），对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）若f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），分别令x=y=0，y=-x，即可证得结论；
（2）根据f（x）在R上是单调增函数，且是奇函数，将f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0对任意x∈R恒成立，转化为3^2x-（1+k）•3^x+2＞0对任意x∈R成立，进而可利用换元法及分类讨论的思想，即可求得实数k的取值范围．

解答：（1）证明：令x=y=0，代入f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），得f（0+0）=f（0）+f（0），即 f（0）=0．
令y=-x，代入f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），得 f（x-x）=f（x）+f（-x），
又f（0）=0，则有0=f（x）+f（-x）．
即f（-x）=-f（x）对任意x∈R成立，所以f（x）是奇函数．--------------（4分）
（2）解：f（x）在R上是单调增函数，又由（1）知f（x）是奇函数．
∵f（k•3^x）＜-f（3^x-9^x-2）=f（-3^x+9^x+2），
∴k•3^x＜-3^x+9^x+2，
∴3^2x-（1+k）•3^x+2＞0对任意x∈R成立．
令t=3^x＞0，问题等价于t²-（1+k）t+2＞0对任意t＞0恒成立．--------------------（6分）
令g（t）=t²-（1+k）t+2，其对称轴为x=

1+k

2

当

1+k

2

＜0，即k＜-1时，f（0）＞2，符合题意；
当

1+k

2

≥0，即k≥-1时，则△=（1+k）²-4×2＜0，∴-1≤k＜-1+2

2

综上，k＜-1+2

2

--------------------------（12分）

点评：本题考查抽象函数的单调性与奇偶性，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，有综合性．