Question

已知数列{a_n}满足a₁＝1，a₂＝－13，a_n＋2－2a_n＋1＋a_n＝2n－6.

(1)设b_n＝a_n＋1－a_n，求数列{b_n}的通项公式.

(2)在(1)的条件下，求n为何值时，a_n最小.

Answer 1

(1)由a_n＋2－2a_n＋1＋a_n＝2n－6，得

(a_n＋2－a_n＋1)－(a_n＋1－a_n)＝2n－6，

∴b_n＋1－b_n＝2n－6.

当n≥2时，b_n－b_n－1＝2(n－1)－6.

b_n－1－b_n－2＝2(n－2)－6，

……

b₃－b₂＝2×2－6，

b₂－b₁＝2×1－6，

累加得b_n－b₁＝2[1＋2＋…＋(n－1)]－6(n－1)

＝n(n－1)－6n＋6＝n²－7n＋6.

又b₁＝a₂－a₁＝－14.

∴b_n＝n²－7n－8(n≥2)，

n＝1时，b₁也适合此式，

故b_n＝n²－7n－8.

(2)由b_n＝(n－8)(n＋1)，得a_n＋1－a_n＝(n－8)(n＋1).

∴当n<8时，a_n＋1<a_n.

当n＝8时，a₉＝a₈，

当n>8时，a_n＋1>a_n，

故当n＝8或n＝9时a_n最小.