Question

（2009•虹口区一模）（1）定义：若数列{d_n}满足d_n+1=d_n²，则称{d_n}为“平方递推数列”．已知：数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=2a_n²+2a_n．
①求证：数列{2a_n+1}是“平方递推数列”；
②求证：数列{lg（2a_n+1）}是等比数列；
③求数列{a_n}的通项公式．
（2）已知：数列{b_n}中，b₁=1，b_n+1=p²b_n³+3pb_n²+3b_n（p＞0），求：数列{b_n}的通项．

Answer 1

分析：（1）①依据“平方递推数列”定义，结合条件a_n+1=2a_n²+2a_n，可证数列{2a_n+1}是“平方递推数列”，
②令b_n=2a_n+1，进而有lgbn+1=2lgbn．从而可证数列{lgbn}为等比数列；
③由②知，数列{lg（2a_n+1）}是以lg5为首项，2为公比的等比数列，故可求
（2）两边同乘以p整理得，pb_n+1+1=（pb_n+1）³，两边取对数得：lg（pb_n+1+1）=3lg（pb_n+1），故数列{lg（pb_n+1）}是以lg（p+1）为首项，3为公比的等比数列，从而可求数列{b_n}的通项．

解答：解：（1）①由条件a_n+1=2a_n²+2a_n，得2a_n+1+1=4a_n²+4a_n+1=（2a_n+1）²．
∴数列{2a_n+1}是“平方递推数列”；
②令b_n=2a_n+1，∴b_n+1=2a_n+1+1．则lgb_n+1=2lgb_n．
∵lg（2a₁+1）=lg5≠0，∴

lg(2an+1+1)

lg(2an+1)

=2．
数列{lg（2a_n+1）}是等比数列；
③由②知，lg（2a_n+1）=2n-1lg5=lg52n-1，∴2a_n+1=52n-1，∴a_n=

1

2

×52n-1-

1

2

（2）两边同乘以p得，pb_n+1=p³b_n³+3p²b_n²+3pb_n（p＞0），
∴pb_n+1+1=p³b_n³+3p²b_n²+3pb_n+1=（pb_n+1）³，
两边取对数得：lg（pb_n+1+1）=3lg（pb_n+1）
∴数列{lg（pb_n+1）}是以lg（p+1）为首项，3为公比的等比数列
∴lg（pb_n+1）=3^n-1lg（p+1）
∴b_n=

(p+1)3n-1-1

p

点评：本题的考点是数列递推式，主要考查新定义，将数列放到新情境中，关键是正确理解题意，挖掘问题的本质与隐含，解题时应注意构造新数列，从而使问题得解．