Question

已知抛物线C₁：y=x²，椭圆C₂：x²+

y2

4

=1．
（1）设l₁，l₂是C₁的任意两条互相垂直的切线，并设l₁∩l₂=M，证明：点M的纵坐标为定值；
（2）在C₁上是否存在点P，使得C₁在点P处切线与C₂相交于两点A、B，且AB的中垂线恰为C₁的切线？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）求导，设切点分别为（x₁，x₁²），（x₂，x₂²），求出直线l₁，l₂的方程，根据l₁⊥l₂可得结果；
（2）设P（x₀，x₀²），写出C₁在点P处切线方程，联立它与椭圆的方程，消去y，得到关于x一元二次方程，△＞0，利用韦达定理和（1）的结论即可求出点P的坐标．

解答：解：（1）y′=2x，
设切点分别为（x₁，x₁²），（x₂，x₂²）
则l₁方程为y-x₁²=2x₁（x-x₁）
即y=2x₁x-x₁² ①
l₂方程为y=2x₂x-x₂² ②
由l₁⊥l₂得2x₁2x₂=-1
即x1x2=-

1

4

所以yM=-

1

4

，
即点M的纵坐标为定值-

1

4

．
（2）设P（x₀，x₀²），
则C₁在点P处切线方程为：y=2x₀x-x₀²
代入C₂方程4x²+y²-4=0
得4x²+（2x₀x-x₀²）-4=0
即（4+4x₀²）x²-4x₀³x+x₀⁴-4=0
设A（x₃，y₃），B（x₄，y₄）
则x3+x4=

x 3 0

1+ x 2 0

，x3•x4=

x 4 0 -4

4+4 x 2 0

△=16x₀⁶-16（1+x₀²）（x₀⁴-4）=16（4+4x₀²-x₀⁴）＞0   ③
由（1）知yM=-

1

4

从而

y3+y4

2

=-

1

4

，
即x0(x3+x4)-

x

2 0

=--

1

4

进而得

x 4 0

1+ x 2 0

-

x

2 0

=-

1

4

解得

x

2 0

=

1

3

，且满足③
所以这样点P存在，其坐标为(±

3

3

，

1

3

)．

点评：此题是个难题．本题考查了椭圆与抛物线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，以及利用导数研究抛物线的切线方程，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．其中问题（2）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力，