分析 (1)证明∠APE=∠EDF.又结合∠DEF=∠AEP即可证明△DEF∽△PEA;
(2)利用△DEF∽△CED,求EC的长,利用相交弦定理,求EP的长,再利用切割线定理,即可求PA的长.
解答 (本题满分为10分)
解:(1)证明:∵CD∥AP,
∴∠APE=∠ECD,
∵∠EDF=∠ECD,
∴∠APE=∠EDF.
又∵∠DEF=∠AEP,
∴△DEF∽△PEA.…(5分)
(2)∵∠EDF=∠ECD,∠CED=∠FED,
∴△DEF∽△CED,
∴DE:EC=EF:DE,即DE2=EF•EC,
∵DE=6,EF=4,于是EC=9.
∵弦AD、BC相交于点E,∴DE•EA=CE•EB. …(7分)
又由(1)知EF•EP=DE•EA,故CE•EB=EF•EP,即9×6=4×EP,
∴EP=$\frac{27}{2}$. …(8分)
∴PB=PE-BE=$\frac{15}{2}$,PC=PE+EC=$\frac{45}{2}$,
由切割线定理得:PA2=PB•PC,即PA2=$\frac{15}{2}$×$\frac{45}{2}$,进而PA=$\frac{{15\sqrt{3}}}{2}$.…(10分)
点评 本题考查与圆有关的比例线段,考查三角形的相似,考查相交弦定理,切割线定理的运用,属于中档题.
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