Question

8．已知函数f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+a}$（a＞0）在[1，+∞）上的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，则a的值为（　　）

• A． $\sqrt{3}$-1
• B． $\frac{3}{4}$
• C． $\frac{4}{3}$
• D． $\sqrt{3}$+1

Answer 1

分析 对函数f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+a}$（a＞0）进行求导，讨论a研究函数在[1，+∞）上的单调性，而求出最大值，即可得到a的值．

解答 解：f（x）的导数为f′（x）=$\frac{a-{x}^{2}}{（a+{x}^{2}）^{2}}$，
当a＞1时，x＞$\sqrt{a}$时，f′（x）＜0，f（x）单调减，
当1＜x＜$\sqrt{a}$时，f′（x）＞0，f（x）单调增，
当x=$\sqrt{a}$时，f（x）取得最大值$\frac{2a}{\sqrt{a}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
解得a=$\frac{1}{6}$＜1，不合题意；
当a=1时，f（x）在[1，+∞）递减，f（1）最大，且为$\frac{1}{2}$，不成立；
当0＜a＜1时，f（x）在[1，+∞）递减，f（1）最大，
即f（1）=$\frac{1}{1+a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得a=$\sqrt{3}$-1，
故选A．

点评 本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值问题，注意运用分类讨论的思想方法，属于研究最值问题的中档题．