Question

【题目】中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线与圆：有公共点，且圆在点处的切线与双曲线的一条渐近线平行，则该双曲线的实轴长为________．

Answer 1

【答案】

【解析】

对双曲线的焦点位置分两种情况讨论，先求出圆在点的切线为，再根据题得

到关于a,b的方程组，解方程组即得a 和双曲线实轴的长.

当双曲线的焦点在x轴上时，设为，

圆有公共点，，圆在点的切线方程的斜率为：，

圆在点的切线为：，即，

圆在点的切线与双曲线的渐近线平行，并且中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线，

可得，所以a=2b, (1)

因为, (2)

解方程（1）(2)得无解.

当双曲线的焦点在y轴上时，设为，

圆有公共点，，圆在点的切线方程的斜率为：，

圆在点的切线为：，即，

圆在点的切线与双曲线的渐近线平行，并且中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线，

可得，所以b=2a, (3)

因为, (4)

解方程（3）(4)得,所以该双曲线的实轴长为.

故答案为：