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(2012•怀柔区二模)对于给定数列{cn},如果存在实常数p,q使得cn+1=pcn+q对于任意n∈N*都成立,我们称数列{cn}是“T数列”.
(Ⅰ)若an=2n,bn=3•2n,n∈N*,数列{an}、{bn}是否为“T数列”?若是,指出它对应的实常数p,q,若不是,请说明理由;
(Ⅱ)证明:若数列{an}是“T数列”,则数列{an+an+1}也是“T数列”;
(Ⅲ)若数列{an}满足a1=2,an+an+1=3t•2n(n∈N*),t为常数.求数列{an}前2013项的和.
分析:(I)根据“T数列”的定义加以验证,可得{an}是“T数列”,对应的实常数分别为1和2;数列{bn}也是“T数列”,对应的实常数分别为2和0;
(II)若数列{an}是“T数列”,则存在实常数p、q,满足an+1=pan+q、an+2=pan+1+q对于任意n∈N*都成立,两式对应相加即可证出数列{an+an+1}也是“T数列”,对应的实常数分别为p、2q;
(III)根据等式an+an+1=3t•2n(n∈N*),分别取n=2、4、…、2012,得到1006个等式.而S2013=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a2010+a2011)+(a2012+a2013),将a1=2和前面1006个等式代入,结合等比数列求和公式即可算出数列{an}前2013项的和的表达式.
解答:解:(Ⅰ)因为an=2n,则有an+1=2n+2=1×an+2(n∈N*),
所以数列{an}是“T数列”,对应的实常数分别为1和2.
因为bn=3•2n,则有bn+1=3•2n+1=2×3•2n+1=2bn (n∈N*),
所以数列{bn}是“T数列”,对应的实常数分别为2和0---(4分)
(Ⅱ)若数列{an}是“T数列”,则存在实常数p、q,
使得an+1=pan+q对于任意n∈N*都成立,且有an+2=pan+1+q对于任意n∈N*都成立,
因此(an+1+an+2)=p(an+an+1)+2q对于任意n∈N*都成立,故数列{an+an+1}也是“T数列”.
对应的实常数分别为p、2q.---------------------(8分)
(Ⅲ)因为 an+an+1=3t•2n(n∈N*),
则有a2+a3=3t•22,a4+a5=3t•23,…,a2010+a2011=3t•22010,a2012+a2013=3t•22012
故数列{an}的前2013项的和
S2013=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a2010+a2011)+(a2012+a2013
=2+3t•22+3t•24+…+3t•22010+3t•22012=2+3t•
4(1-41006)
1-4
=2+t(22014-4).---------(13分)
点评:本题给出“T数列”,要我们验证两个数列是否为“T数列”,并根据题意求数列{an}的前2013项的和.着重考查了数列的递推公式和等比数列前n项和的公式等知识,考查了转化化归与函数方程的思想,属于中档题.
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,则
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t2t3
+
t2t3
t3t4
+…+
t12t1
t1t2
=
6
3
-9
6
3
-9

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