Question

设函数是定义在［-1,0）∪（0,1］上的偶函数,当x∈［-1,0）时, =x³-ax(a∈R).

(1)当x∈（0,1］时,求的解析式;

(2)若a＞3,试判断在（0,1］上的单调性,并证明你的结论;

(3)是否存在a,使得当x∈（0,1］时,有最大值1.

Answer 1

分析：此题综合性较强,应注意知识间的相互联系和相互转化.

解：(1)∵x∈(0,1］时,-x∈［-1,0）,

∴=(-x)³-a(-x)=ax-x³.

又为偶函数,∴=,即=ax-x^3.

(2)=-3x²+a,∵x∈（0,1］,∴x²∈（0,1］.

∴-3x²≥-3.

∵a＞3,∴-3x²+a＞0,故在（0,1］上为增函数.

(3)假设存在a,使得当x∈（0,1］时,有最大值1.

∴=a-3x^2.

令=0,∴-3x²+a=0,即a＞0时,x=±.?

又∵x∈（0,1］,∴x=且＜1.

∴在(0,)上大于0,在(,1)上小于0.

∴=f()=-==1.

∴a=时, 有最大值1.

点评：关于存在性问题,处理的方法可以先假设存在,再寻找所得的结论.